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Wendepunkte berechnen – Online-Rechner mit Ableitungen, Wendetangente & Graph

Berechnen Sie kostenlos & online die Wendepunkte, Sattelpunkte und Wendetangenten ganzrationaler Funktionen – inklusive vollständiger Herleitung über f′(x), f″(x) = 0 und f‴(x) ≠ 0 sowie interaktivem Koordinatensystem.

Eingaben

Eingabeform der Funktion

Schreibweise: x^3 oder x³, Dezimalzahlen mit Komma (0,5x^4) oder Brüchen (1/3x^3).

Ergebnisse aktualisieren sich live beim Tippen.

Ergebnis

Wendepunkt W(x_W | y_W)
W(2 | 3)
Rechts-Links-Wendepunkt (R→L) · Wendetangente m = -3
Funktion f(x)
x^3 − 6·x^2 + 9·x + 1
1. Ableitung f′(x)
3·x^2 − 12·x + 9
2. Ableitung f″(x)
6·x − 12
3. Ableitung f‴(x)
6
Krümmungswechsel
Rechts-Links-Wendepunkt (R→L)
Wendetangente t(x)
y = −3·x + 9
Sattelpunkt (f′=0)?
Nein (Steigung m = -3)
Funktionsgraph f(x) mit Wendepunkt W & WendetangenteSkaliert live mit Ihren Werten
W(2|3)

Die gestrichelte Linie zeigt die Wendetangente t(x) im Wendepunkt; dort wechselt der Graph seine Krümmung zwischen Rechts- und Linkskurve.

Rechenweg – Schritt für Schritt

  1. 1. bis 3. Ableitung nach der Potenzregel bilden
    f(x) = x^3 − 6·x^2 + 9·x + 1 f′(x) = 3·x^2 − 12·x + 9 f″(x) = 6·x − 12 f‴(x) = 6
  2. Notwendige Bedingung: f″(x) = 0 setzen
    6·x − 12 = 0 ⇒ 6·x = 12 ⇒ x_W = 2
  3. Hinreichende Bedingung (f‴(x_W) ≠ 0), y-Wert & Wendetangente
    f‴(2) = 6 ≠ 0 ⇒ Rechts-Links-Wendepunkt (R→L) y-Koordinate: f(2) = 3 ⇒ W(2 | 3) Wendetangente: t(x) = −3·x + 9

🔒 100% KostenlosOhne AnmeldungBerechnung erfolgt lokal in Ihrem Browser (DSGVO-konform).

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Wendepunkte berechnen: Das 4-Schritte-Rezept für Schule, Abitur & Studium

Ein Wendepunkt $W(x_W mid y_W)$ ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen $f(x)$, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert – also von einer Rechtskurve (rechtsgekrümmt / konkav, $f''(x) < 0$) in eine Linkskurve (linksgekrümmt / konvex, $f''(x) > 0$) wechselt oder umgekehrt. Gleichzeitig besitzt der Graph im Wendepunkt lokal seine größte bzw. kleinste Steigung. So gehen Sie bei jeder Aufgabe systematisch vor:

1. Schritt: Erste drei Ableitungen bilden
f(x) = xⁿ ⇒ f′(x) = n·xⁿ⁻¹, f″(x), f‴(x)
Für die Wendepunktberechnung benötigen Sie die zweite Ableitung f″(x) und zur Prüfung f‴(x).
2. Schritt: Notwendige Bedingung f″(x) = 0
f″(x_W) = 0 ⇒ Kandidaten x_W bestimmen
Lösen Sie die Gleichung f″(x) = 0 durch Umstellen (Grad 3) oder mit der p-q-Formel (Grad 4).
3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
f‴(x_W) ≠ 0 (oder Vorzeichenwechsel von f″(x))
Für f‴(x_W) > 0 liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt vor, für f‴(x_W) < 0 ein Links-Rechts-Wendepunkt.
4. Schritt: y-Koordinate & Wendetangente
y_W = f(x_W) | t(x) = f′(x_W)·x + n
Wichtig: Zum Berechnen von y_W setzen Sie x_W immer in die Ausgangsfunktion f(x) ein!

Überblick: Krümmung, Rechts-Links-Wechsel & Sattelpunkt (Terrassenpunkt)

Bedeutung der Ableitungen am Wendepunkt in der Kurvendiskussion
Bedingung an der Stelle x_WMathematische BedeutungAnschaulicher Verlauf (Fahrrad-Regel)
f″(x) < 0 (vor oder nach W)Rechtskrümmung (Rechtskurve / konkav)Lenker ist nach rechts eingeschlagen
f″(x) > 0 (vor oder nach W)Linkskrümmung (Linkskurve / konvex)Lenker ist nach links eingeschlagen
f″(x_W) = 0 und f‴(x_W) > 0Rechts-Links-Wendepunkt (R → L)Übergang von Rechtskurve in Linkskurve (Lenker gerade)
f″(x_W) = 0 und f‴(x_W) < 0Links-Rechts-Wendepunkt (L → R)Übergang von Linkskurve in Rechtskurve
Wendepunkt mit f′(x_W) = 0Sattelpunkt (Terrassenpunkt)Wendepunkt mit waagerechter Tangente (Steigung m = 0)
f″(x₀) = 0, aber kein VZW von f″Kein Wendepunkt (z. B. f(x) = x⁴ bei x = 0)Krümmung bleibt auf beiden Seiten gleich (Flachpunkt)
Merkhilfe „Fahrrad-Regel“ von oben betrachtet: Stellen Sie sich vor, Sie fahren auf dem Funktionsgraphen von links nach rechts (in Richtung wachsender $x$-Werte) mit dem Fahrrad entlang. Der Wendepunkt ist exakt der kurze Moment zwischen einer Rechts- und einer Linkskurve, in dem der Fahrradlenker geradeaus zeigt!

Durchgerechnete Beispielaufgaben (Abitur-Niveau)

Polynom 3. Grades

Wendepunkt und Wendetangente von f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1

Gesucht sind der Wendepunkt W, die Art des Krümmungswechsels und die Gleichung der Wendetangente.

1) Ableitungen: f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12, f‴(x) = 6 2) Notwendig: f″(x) = 6x − 12 = 0 ⇒ x_W = 2 3) Hinreichend: f‴(2) = 6 > 0 ⇒ Rechts-Links-Wendepunkt 4) y-Wert: f(2) = 2³ − 6·2² + 9·2 + 1 = 8 − 24 + 18 + 1 = 3 ⇒ W(2 | 3) 5) Steigung m = f′(2) = 3·4 − 24 + 9 = −3 ⇒ t(x) = −3x + 9

Ergebnis: Rechts-Links-Wendepunkt bei W(2 | 3) mit Wendetangente t(x) = −3x + 9.

Polynom 4. Grades

Zwei Wendepunkte bei f(x) = x⁴ − 6x² + 5 berechnen

Eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades kann bis zu zwei Wendepunkte besitzen.

1) f′(x) = 4x³ − 12x, f″(x) = 12x² − 12, f‴(x) = 24x 2) f″(x) = 12x² − 12 = 0 ⇔ x² = 1 ⇒ x₁ = −1 und x₂ = +1 3) f‴(−1) = −24 < 0 (L→R), f‴(+1) = +24 > 0 (R→L) 4) y-Werte: f(±1) = 1 − 6 + 5 = 0 ⇒ W₁(−1 | 0) und W₂(1 | 0)

Ergebnis: Zwei Wendepunkte auf der x-Achse bei W₁(−1 | 0) und W₂(1 | 0).

Häufige Fragen zum Thema „Wendepunkte berechnen“

Was ist der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einem Sattelpunkt?
Jeder Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) ist ein spezieller Wendepunkt, bei dem zusätzlich die erste Ableitung null ist: f′(x_W) = 0. Die Wendetangente verläuft dort also exakt waagerecht (Steigung m = 0). Das bekannteste Beispiel ist f(x) = x³ im Ursprung S(0 | 0).

Was tue ich, wenn sowohl f″(x₀) = 0 als auch f‴(x₀) = 0 gilt?
Wenn die dritte Ableitung f‴(x₀) = 0 ergibt, liefert das Kriterium über f‴ keine Entscheidung. Sie prüfen dann mit dem Vorzeichenwechselkriterium (VZW): Setzen Sie einen Wert knapp links (z. B. x₀ − 0,1) und knapp rechts (x₀ + 0,1) in die zweite Ableitung f″(x) ein. Wechselt f″(x) das Vorzeichen (z. B. bei f(x) = x⁵), liegt trotzdem ein Wendepunkt vor; bleibt das Vorzeichen gleich (z. B. bei f(x) = x⁴), ist es ein Flachpunkt (Extrempunkt) ohne Krümmungswechsel.

In welche Funktion setzt man x_W ein, um die y-Koordinate des Wendepunkts zu berechnen?
Ein klassischer Klausurfehler! Um die y-Koordinate y_W des Punktes auf dem Graphen zu erhalten, müssen Sie den gefundenen x-Wert x_W immer in die ursprüngliche Ausgangsfunktion f(x) einsetzen (niemals in f″(x), denn dort käme definitionsgemäß 0 heraus).

Wie viele Wendepunkte kann ein Polynom n-ten Grades maximal haben?
Da bei jedem Ableiten der Grad des Polynoms um 1 sinkt, hat die zweite Ableitung f″(x) den Grad n − 2. Ein Polynom vom Grad n besitzt daher höchstens n − 2 Wendepunkte: Eine Parabel (Grad 2) hat 0 Wendepunkte, eine kubische Funktion (Grad 3) hat immer genau 1 Wendepunkt, und eine Funktion 4. Grades hat 0 oder 2 Wendepunkte.
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